Формулы, законы, правила, примеры по тоэ. Комплексные числа в электротехнике для синусоидальных функций

Такими как электрический ток, напряжение, сопротивление и мощность. Настал черед основных электрических законов, так сказать, базиса, без знания и понимания которых невозможно изучение и понимание электронных схем и устройств.

Закон Ома

Электрический ток, напряжение, сопротивление и мощность, безусловно, между собой связаны. А взаимосвязь между ними описывается, без сомнения, самым главным электрическим законом – законом Ома . В упрощенном виде этот закон называется: закон Ома для участка цепи. И звучит этот закон следующем образом:

«Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи».

Для практического применения формулу закона Ома можно представить в виде вот такого треугольника, который помимо основного представления формулы, поможет определить и остальные величины.

Работает треугольник следующим образом. Чтобы вычислить одну из величин, достаточно закрыть ее пальцем. Например:

В предыдущей статье мы проводили аналогию между электричеством и водой , и выявили взаимосвязь между напряжением, током и сопротивлением. Также хорошей интерпретацией закона Ома может послужить следующий рисунок, наглядно отображающий сущность закона:

На нем мы видим, что человечек «Вольт» (напряжение) проталкивает человечка «Ампера» (ток) через проводник, который стягивает человечек «Ом» (сопротивление). Вот и получается, что чем сильнее сопротивление сжимает проводник, тем тяжелее току через него проходить («сила тока обратно пропорциональна сопротивлению участка цепи» – или чем больше сопротивление, тем хуже приходится току и тем он меньше). Но напряжение не спит и толкает ток изо всех сил (чем выше напряжение, тем больше ток или – «сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению»).

Когда фонарик начинает слабо светить, мы говорим – «разрядилась батарейка». Что с ней произошло, что значит разрядилась? А значит это, что напряжение батарейки снизилось и оно больше не в состоянии «помогать» току преодолевать сопротивление цепей фонарика и лампочки. Вот и получается, что чем больше напряжение – тем больше ток.

Последовательное подключение – последовательная цепь

При последовательном подключении потребителей, например обычных лампочек, сила тока в каждом потребителе одинаковая, а вот напряжение будет отличаться. На каждом из потребителей напряжение будет падать (снижаться).

А закон Ома в последовательной цепи будет иметь вид:

При последовательном соединении сопротивления потребителей складываются. Формула для расчета общего сопротивления:

Параллельное подключение – параллельная цепь

При параллельном подключении, к каждому потребителю прикладывается одинаковое напряжение, а вот ток через каждый из потребителей, в случае, если их сопротивление отличается – будет отличаться.

Закон Ома для параллельной цепи, состоящей из трех потребителей, будет иметь вид:

При параллельном соединении общее сопротивление цепи всегда будет меньше значения самого маленького отдельного сопротивления. Или еще говорят, что «сопротивление будет меньше наименьшего».

Общее сопротивление цепи, состоящей из двух потребителей, при параллельном соединении:

Общее сопротивление цепи, состоящей из трех потребителей, при параллельном соединении:

Для большего числа потребителей расчет производится исходя из того, что при параллельном соединении проводимость (величина обратная сопротивлению) рассчитывается как сумма проводимостей каждого потребителя.

Электрическая мощность

Мощность – это физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии. Рассчитывается мощность по следующей формуле:

Таким образом зная, напряжение источника и измерив потребляемый ток, мы можем определить мощность потребляемую электроприбором. И наоборот, зная мощность электроприбора и напряжение сети, можем определить величину потребляемого тока. Такие вычисления порой необходимы. Например, для защиты электроприборов используются предохранители или автоматические выключатели. Чтобы правильно подобрать средство защиты нужно знать потребляемый ток. Предохранители, применяемые в бытовой технике, как правило подлежат ремонту и для их восстановления достаточно

Формулы	Обозначение и единицы измерения
Закон Ома для участка цепи постоянного тока
1. Напряжение на участке цепи, В U=ІR	I - сила тока на этом участке, А; R - сопротивление участке цепи, Ом; U - напряжение на участке цепи, В;
2. Ток на участке цепи, А I=U/R
3. Сопротивление на участке цепи, Ом R=U/I
4. Сопротивление проводника постоянному току, Ом R 0 =ρ	ρ - удельное сопротивление, 10 -6 Ом∙м; l - длина, м; S - сечение, мм 2 ;
5. Зависимость активного сопротивления проводника от температуры R=R 1 ∙	R, R 1 - сопротивления проводника соответственно при температурах t и t 1 , 0 С, Ом; α -температурный коэффициент, 1/ 0 С;
6. Общее сопротивление электрической цепи при последовательном соединении сопротивлений R=R 1 +R 2 +R 3 +…+R n	R - общее сопротивление цепи, Ом; R 1 ,R 2 ,R 3 …R n - сопротивления n резисторов, Ом;
7. Сопротивление цепи из двух параллельных резисторов R=R 1 ∙R 2 /R 1 +R 2
	С - общая емкость конденсаторов, Гн; С 1 ,С 2 ,С 3 … Сn - емкость отдельных конденсаторов цепи, Гн;
10. Мощность постоянного тока, Вт P=UI=I 2 R=U 2 /R	I - сила тока в цепи, А; U - напряжение в цепи, В; R - сопротивление, Ом;
11. Энергия электрической цепи, Дж W=Pt	P - мощность в цепи, Вт; t - время, с;
12. Тепловой эффект A=0,24∙I 2 ∙R∙t= 0,24∙U∙I∙t	A - количество выделяемого тепла, кал; t - время протекания тока; R - сопротивление, Ом;
Закон Ома при переменном токе
13. Ток, А I=U/Z	I - ток, А; U - напряжение, В; Z - полное сопротивление в цепи, Ом; - индуктивное сопротивление цепи, Ом; Z= = X L =ωL – индуктивное сопротивление цепи, Ом X C =1/ωC – емкостное сопротивление цепи, Ом ω - угловая частота сети, с -1 ; f - частота переменного тока, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф;
14. Напряжение, Вт U=I∙Z
15. Закон Кирхгофа для узла (1-й закон): для замкнутого контура (2-й закон): E= =	I i - токи в отдельных ветвях цепи, сходящихся в одной точке, А i=(1,2,3,…); E - ЭДС, действующая в контуре, В; U - напряжение на участке контура, В; Z - полное сопротивление участка, Ом;
16. Распределение тока в двух параллельных ветвях цепи переменного тока I 1 /I 2 = Z 2 /Z 1	I 1 - ток первой цепи, А; I 2 - ток второй цепи, А; Z 1 - сопротивление первой ветви, Ом; Z 2 - сопротивление второй ветви, Ом;
17. Полное сопротивление, Ом Z=	R - активное сопротивление, Ом; X L - индуктивное сопротивление, Ом; X C - емкостное сопротивление, Ом;
18. Реактивное (индуктивное) сопротивление, Ом X L =ωL=2 ∙f∙L	ω- угловая частота, рад/с; f - частота колебаний, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф; X - полное реактивное сопротивление, Ом;
19. Реактивное (емкостное) сопротивление, Ом X C =1/ωL= 1/2 ∙f∙L
20. Полное реактивное сопротивление X= X L - X C
21. Индуктивность катушки, Гн без стального сердечника: L= 10 -8 со стальным сердечником: L= μ 10 -8	n- число витков катушки; S - площадь среднего сечения обмотки, составляющей катушку, см 2 ; l - длина катушки, см; μ - магнитная проницаемость материала сердечника, Гн/м;
22. Закон электромагнитной индукции для синусоидального тока E= 4,44∙f∙ω∙B∙S∙10 -4	E - наведенная ЭДС, В; f - частота, Гц; ω- число витков обмотки; B -индукция магнитная, Тл; S - сечение магнитопровода, см 2 ;
23. Электродинамический эффект тока для двух параллельно расположенных проводников F=I m 1 ∙ I m 2 ∙ ∙10 -7	F - сила, действующая на проводниках, Н; I m 1 , I m 2 - амплитудные значения токов в параллельных проводниках, А; l - длина проводника, см; α - расстояние между проводниками, см;
24. Зависимости для цепи переменного тока ток в цепи: I= I R =I∙cosω I X =I∙ sinω напряжение в цепи: U= U R =U∙ cosω U X =U∙ sinω	I - ток в цепи, А; I R - активная составляющая тока, А; I X - реактивная составляющая тока, А; U - напряжение в цепи, В; U R - активная составляющая напряжения, В; U X - реактивная составляющая напряжения, В;
25. Соотношение токов и напряжений в трехфазной системе а) соединение «звезда»: I Л =I Ф, U Л =1,73∙U Ф; б) соединение «треугольник»: U Л = U Ф, I Л =1,73∙I Ф;	I Л - ток линейный, А; I Ф - ток фазный, А; U Л - напряжение линейной, В; U Ф - напряжение фазное, В;
26. Коэффициент мощности cos	P - реактивная мощность, Вт; S - полная мощность, В∙А; R - активное сопротивление, Ом; Z - полное сопротивление, Ом;
27. Мощность и энергия тока в цепи переменного тока а) цепь однофазного тока: P=I∙U∙ cos , Q=I∙U∙sin , S=IU= ; W R =I∙U∙ cos ∙t; W X = I∙U∙sin ∙t; б) цепь трехфазного тока: P= ∙I∙U∙ cos ; Q= ∙I∙U∙sin ; W R = ∙I∙U∙ cos ∙t; W X = ∙I∙U∙sin ∙t;	Q - реактивная мощность, вар; W R - активная энергия, Вт∙ч; W X - реактивная энергия, вар∙ч; t - время протекания тока, ч; S - полная мощность, В∙А;
28. Реактивная мощность конденсатора, Вар Q C =U 2 ∙ω∙C=U 2 ∙2П∙f∙C, где конденсатора, Ф С=	I C - ток, протекающий через конденсатор, А; U - напряжение, приложенное к конденсатору, В;
29. Синхронная частота вращения электрической машины, об./мин n=	f - частота питающей сети, Гц; p - число пар полюсов машины;
30. Вращающий момент электрической машины, Н∙м M=9,555∙	P - мощность, Вт; n - частота вращения, об./мин;

Приложение 13

Расчёт сложных электрических цепей

В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.

Используя законы Ома и Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.

Одним из методов расчёта сложных электрических цепей является метод наложение токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из ЭДС цепи в отдельности. На рис. изображена цепь, содержащая три источника с ЭДС E 1 , E 2 , E 3 и четыре последовательно соединенных резистора R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи R =R 1 +R 2 +R 3 +R 4 . Допустим сначала, что ЭДС первого источника E 1 ≠ 0, а второго и третьего E 2 = 0 и E 3 = 0. Затем положим E 2 ≠ 0, а E 1 = 0 и E 3 = 0. И наконец, полагаем E 3 ≠ 0, а E 1 = 0 и E 2 = 0. В первом случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E 1 , равен I 1 = E 1 /R; во втором случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E 2, равен I 2 = E 2 /R ; в третьем случаи ток равен I 3 = E 3 / R и совпадает по направлению с ЭДС E 3. Так как ЭДС E 1 и E 3 совпадает по направлению в контуре, то и токи I 1 и I 3 также совпадают, а ток I 2 имеет противоположное направление, так как ЭДС E 2 направлена встречно по отношению к ЭДС E 1 и E 3 . Следовательно, ток в цеп равен

I = I 1 – I 2 + I 3 = E 1 / R – E 2 / R + E 3 / R =

= (E 1 – E 2 + E 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 ).

Электрическая цепь с тремя источниками энергии

Направление на любом участке цепи, например между точками а и б ,равно U аб = IR 4 .

При расчёте сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех ЭДС.

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направления тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком « - ». Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причём число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление. Пусть ЭДС источников E 1 = E 2 =120B, их внутренние сопротивления R 1 = 3 Ом и R 2 = 6 Ом, сопротивление нагрузки R = 18 Ом.

Так как число неизвестных токов 3, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I 1 + I 2 . Второе уравнение запишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивление нагрузки: E 1 = I 1 R 1 + IR . Аналогично запишем третье уравнение: E 2 = I 2 R 2 + IR . Подставляя числовые значения, получим 120 В = 3I 1 + 18I и 120 В = 6I 2 + 18I . ТаккакE 1 – E 2 = I 1 R 1 – I 2 R 2 = 3I 1 – 6I 2 = 0, тоI 1 = 2I 2 иI = 3I 2 . Подставляя эти значения в выражение для ЭДС E 1 , получим 120 =

2I 2 × 3 + 18 × 3I 2 = 60I 2 , откуда I 2 = 120 / 60 = 2A, I 1 = 2I 2 = 4A, I = I 1 ++ I 2 = 6A.

В сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений. Обозначив потенциалы в узловых точках φа – φб, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т.е.

U = φа – φб.

а б

Схема к расчету сложно электрической цепи:

а – по методу узловых напряжений;

б – по методу контурных токов

Приняв за положительное направление ЭДС и токов в ветвях от узла, а к узлу б для каждой из ветвей, можно записать равенства: I 1 = (φа – φб – E 1 )/

/ R 1 = (U – E 1 )g 1 ; I 2 = (φа – φб – E 2 ) / R 2 = (U – E 2 )g 2 ; I 3 = (φа – φб – E 3 ) / / R 3 = (U – E 3 )g 3; I = (φа – φб) / R = Ug .

На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем I 1 + I 2 + + I 3 +I = 0. Подставим в эту сумму значения токов, найдем

(U – E 1 )g 1 + (U + E 2 )g 2 + (U – E 3 )g 3 + Ug = 0,

U = (E 1 g 1 – E 2 g 2 + E 3 g 3 ) / (g 1 + g 2 + g 3 + g ) =

= Σ Eg / Σ g ,

т.е. узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей. Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для оков в ветвях, легко определить эти токи.

Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и ЭДС, применяют метод контурных токов. Который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, первый из которых представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй – другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от взаимного относительного направления.

При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров. Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R 11 , R 22 и т.д., а вторую – индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R 12 , R 13 и т.д.

Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:

Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Исторические предпосылки

Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:

В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:

На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.

Мнимые числа стали настоящей палочкой - выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.

Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.

Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.

Из курса физики нам известно, что - это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи него электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.

В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:

Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.

Из определяют комплексное значение сопротивления:

Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление - в показательной форме.

Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров.

Дано:

напряжение на катушке 50 В,

сопротивление резистора 25 Ом,

индуктивность катушки 500 мГн,

электроемкость конденсатора 30 мкф,

сопротивление провода катушки 10 Ом,

частота сети 50 Гц.

Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.

Решение:

Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.

Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.

Термином комплексного числа (далее в тексте - КЧ) пользуются для обозначения выражений виды: ċ=а+jb , в которых индекс "ċ" используется для обозначения КЧ, а "а" и "b" отображают действительную и мнимую части. Значение "j" обозначает мнимую единицу и равно √(-1) .

В английском языке словом Real принято характеризовать действительность, а термином Imaginary - мнимые свойства. От этих слов были созданы обозначения Re и Im , которые используются для выражения величин "а" и "b" следующим способом:

а=Re(с), b=Im(с).

Для геометрического отображения КЧ в векторной форме применяется комплексная плоскость. У нее горизонтальная ось помечается знаком +1 , а вертикальная – символом +j . Термин действительной (реже вещественной) части используется для наименования горизонтальной оси, а для вертикальной - мнимой.

Обе составляющие (действительная и мнимая) КЧ являются прямоугольными проекциями вектора на соответствующие оси.

В представленном графике значение с=|ċ| именуется модулем КЧ и равно длине вектора. Другим параметром, определяющим положение радиус-вектора, является его угол поворота α от оси +1 до текущего положения ċ , считающийся аргументом. α=arqċ .

Катеты треугольника представляются через соотношения:

a=cosα, b=csinα .

Используя тригонометрическую форму для выражения КЧ можно представить его видом:

ċ=с(cosα+jsinα) .

Используя формулу Эйлера e jα = cosα+jbsinα , можно получить значение модуля в показательной форме ċ=сe jα .

В полярной форме выражение имеет вид:

ċ=с∠α.

Положение единичного вектора можно изобразить на комплексной плоскости:

Мнимая единица имеет свойства:

j=e j90° , j 2 =-1=e j180° , j 3 =jj 2 =-j=e j270° =e -j90° ,
j 4 =j 2 j 2 =1=e j0 =e j2Π , 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.

К КЧ применимо понятие сопряжения. Им называют те числа, которые равны по величине модулей и аргументов, но имеют разные знаки у аргументов.

ċ=a+jb=ce jα , ĉ=a-jb=ce jα .

Из графика видно, что изображенные векторами КЧ симметричны по отношению к горизонтальной оси.

КЧ и математические действия. Для их сложения или вычитания делается запись в алгебраическом выражении:

ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb .

В этом соотношении отдельно суммируются мнимые и вещественные составляющие: а=а 1 +а 2 , b=b 1 +b 2 .

Данные алгебраические сложения чисел выражают выполнение сложения соответствующих им векторов.

Выполняя сложение сопряженных чисел можно заметить, что их сумма выражается удвоенным значением вещественной составляющей:

ċ+ĉ=(а+jb)+(а-jb)=2а.

Выражения КЧ в показательной форме удобны для выполнения умножения или деления. При этом у них модули перемножают или делят, значения аргументов складывают либо вычитают.

ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .

В выражении с=с 1 /с 2 , α= α 1 -α 2 .

Нетрудно заметить, что при действии умножения длина вектора увеличивается в величину с 2 , а аргумент - на значение а 2 . При представлении КЧ векторами соблюдается закономерность: для умножения вектора на КЧ вида aе jα достаточно растянуть вектор в а раз и довернуть на угол α .

Для вычисления произведения сопряженных чисел достаточно взять квадрат их модуля:

ċĉ=(а+jb)(а-jb)=а 2 +b 2 , или ċĉ=сe jα сe -jα =с 2 .

Для перемножения и деления КЧ при определенных условиях удобно пользоваться их алгебраическим выражением. В таком виде действия проводятся по законам умножения многочленов и учете значения j 2 =-1 .

ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 a 2 -b 1 b 2)+j(b 1 a 2 +a 1 b 2) .

Для деления чисел достаточно избавиться от значения j в выражении знаменателя методом перемножения знаменателя и числителя на одно и то же выражение сопряженного знаменателя:

ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 a 2 +b 1 b 2)+(b 1 a 2 -a 1 b 2))/(a 2 2 +b 2 2)=a+jb;
a=(a 1 a 2 +b 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2);
b=(b 1 a 2 -a 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2).

Графики построенных векторных диаграмм могут иметь изображение:

Для выражения значения тока с синусоидальной формой пользуются соотношением i=Imsin(ωt+ψ) , которым изображают на комплексной плоскости вектор с длиной Im и углом наклона ψ к горизонту. Его выражение Im=Imejψ считают комплексной амплитудой для тока. представляют графиком:

Чтобы получить действующую величину для тока требуется комплексную амплитуду разделить на √2 .

İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Ie jψ .

В электротехнике заглавные буквы с расположенными над ними точками (E, U, I) используются для обозначения КЧ, выражающих синусоидальные зависимости от времени ЭДС, напряжения и тока.

Обозначение комплексной проводимости и сопротивления делается прописными буквами Y и Z , для показа их модулей используется строчное написание у и z . Обозначение комплексной мощности выполняется символом S со значком тильда "҇" над ним.