Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тест по алгебре тема «функция» 7 класс

Пройди тест и определи уровень своих знаний по теме «функция»

Задание №1 Что такое функция? Зависимость одной переменной от другой, если независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Переменная, значение которой выбирают произвольно. Область определения.

Задание № 2 В функции аргументом называют… Независимую переменную. Значение функции. Зависимую переменную. Вы набрали 0 баллов

Задание № 2 В функции аргументом называют… Независимую переменную. Значение функции. Зависимую переменную. Вы набрали 1 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 0 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 1 баллов

Задание № 3 В течение суток измеряли температуру воздуха. Укажите область определения функции. От 0 до 24. От 0 до 12. От 1 до 24. Вы набрали 2 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 0 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. . 24. 2. 6. Вы набрали 1 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 2 баллов

Задание № 4 Функция задана формулой y=12x . Найдите значение функции, если аргумент равен 2. 24. 2. 6. Вы набрали 3 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24? 2. 12. 24. Вы набрали 0 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 1 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 2 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 3 баллов

Задание № 5 Функция задана формулой y=12x . При каком значении аргумента значение функции равно 24 ? 2. 12. 24. Вы набрали 4 баллов

Твоя отметка «2» К сожалению, сегодня ты показал низкий уровень знаний по данной теме. Советую повторить правила. Будь уверен, у тебя всё получится!

Твоя отметка «3» Сегодня ты показал средний уровень знаний по данной теме. Советую повторить правила. Будь уверен, у тебя всё получится!

Твоя отметка «4» Твой уровень знаний по данной теме достаточно хороший.

Твоя отметка «5» Молодец! Ты показал высокий уровень знаний по данной теме. Желаю дальнейших успехов!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Тесты по русскому языку, итоговый тест для 5 класса, тест "Выразительные средства", уроки по произведениям Воронковой и Чивилихина

Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ. Можно использовать в качестве контрольной работыТест для отработки знаний задания В8Итоговый тест для 5 классаМетодические разработки уроков по произведениям...

ЕГЭ английский Тест toefl Тест ielts CAE tests Тесты по аудированию Тесты по чтению Словарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭ

Тест toeflТест ieltsCAE testsТесты по аудированиюТесты по чтениюСловарный запас Что нужно знать для успешной сдачи ЕГЭЧему бы ни учился человек на протяжении всей своей жизни, его всегда бу...

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

Кафедра математики

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных

Санкт-Петербург

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева. Математика. Тема 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 43.

Ил. 9 . Табл. 22 . Библиогр.: 7 назв.

Настоящее издание адресовано студентам инженерных[ специальностей для организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из календарных планов лекций и практических занятий по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», теоретический материал по этой теме, с большим количеством разобранных типовых задач, а также контрольные вопросы по теории и вопросы для подготовки к экзамену. Для самоконтроля полученных знаний в пособие введен тест, в котором представлены тестовые задания с выбором ответа, сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту.

Работа выполнено по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной подготовки специалистов СПбГМТУ.

Е.С.Баранова, Н.В.Васильева

Тема 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Компендиум по дисциплине «Математика»

Редактор Н.Н.Катрушенко

© СПбГМТУ, 2005

1. Тематический план 2 –го семестра.

2. Выписка из календарного плана лекций.

3. Теоретический материал.

4. Контрольные вопросы по теории.

5. Вопросы для подготовки к экзамену.

6. Выписка из календарного плана практических занятий.

7. Тест по теме 6: «Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных».

9. Ответы к тесту.

1. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 2–го СЕМЕСТРА

2. ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (14 часов)

10. Метрическое n - мерное пространство. Функцияn переменных. Функция двух переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные и их геометрический смысл (2 часа).

11. Дифференцируемая функция. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Производная сложной функции n

переменных. Полная производная (2 часа).

12. Дифференциал функции n переменных. Оценка погрешностей. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных (2 часа).

13. Производные и дифференциалы высших порядков. Неявные функции.

14. Экстремум функции двух переменных: определение, необходимое условие, достаточное условие. Экстремум функций n переменных. (2 часа).

15. Задачи на наименьшее и наибольшее значения (2 часа).

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Таблица 2. Оглавление

1. Функции нескольких переменных.

1.1. Прямое произведение множеств, n - мерное пространствоR n

1.2. Окрестности в пространстве R n . Классификация точек. Открытые и

замкнутые

множества

1.3. Функции n переменных. Предел и непрерывность функцийn переменных.

2. Дифференцирование функций n переменных.

1.4. Частные производные функций n переменных.

2.1. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости.

2.2. Производная сложной функции. Полная производная.

3. Дифференциал функций нескольких переменных.

1.5. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства.

1.6. Инвариантность формулы первого дифференциала функций нескольких переменных.

1.7. Геометрическ4ий смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

1.8. Приближенные вычисления и оценка погрешностей.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно.

5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных

производных функции двух переменных, заданной неявно.

5.2. Производная неявной функции, заданной системой уравнений. Определитель Якоби.

6. Экстремум функции нескольких переменных.

6.1. Формула Тейлора функции n переменных.

6.2. Экстремум функции двух переменных.

6.3. Экстремум функции n переменных.

6.4. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

Тема «Функции нескольких переменных»

Тема 3. Функции нескольких переменных

Определение функции двух переменных, способы задания.

Частные производные.

Экстремум функции двух переменных

Градиент функции одной переменной

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

КОНТРОЛЬНЫе вопросы

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

1. Определение функции нескольких переменных, способы задания

Переменная величина называется функцией двух переменных величин и на множестве
, если каждой паре значений
соответствует единственное значение величины .

Символически функция двух переменных обозначается так:


и т.д.

Переменные и называются независимыми переменными или аргументами функции , а множество
- областью определения функции . Для функции двух переменных
областью определения является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.

Например, - функция двух переменных.

Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .

Пример 1. Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых
.

Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

4

График функции 0 1 2 Х

Линии уровня функции

Частные производные

Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным . Соответствующее приращение функции называется частным приращением функции по переменной в точке
.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Обозначение частной производной по: , ,
,
. Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной.

Частной производной функции по переменной называется предел:

.

Обозначения: , ,
,
. Для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример 2 . Найдите значения частных производных функции в точке
.

Считая постоянной и дифференцируя , как функцию переменной , находим частную производную по :

.

Вычислим значение этой производной в точке
: .

Считая постоянной и дифференцируя , как функцию , находим частную производную по :

.

Вычислим значение производной в точке :

Пример 3 . Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.

Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

Вычислим значения частных производных при
,
:

;
.

Частные производные функций нескольких переменных называют также частными производными первого порядка или первыми частными производными.

Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка, если они существуют.

Запишем для функции частные производные 2-го порядка:

;
;

;
.

;
и т.д.

Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:
.

Пример 4. Для функции найти частные производные второго порядка
и
.

Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).

Производная
находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .

Смешанные частные производные равны между собой:
.

Дифференцируя частные производные второго порядка как по х , так и по у , получим частные производные третьего порядка.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
.

Последовательно находим

3. Экстремум функции двух переменных

Максимумом (минимумом ) функции
в точке M 0 (x 0 ,y 0) называется такое ее значение
, которое больше (меньше) всех других ее значений, принимаемых в точках
, достаточно близких к точке
и отличных от нее.

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремальными .

Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция
имеет экстремум в точке
, то ее частные производные в этой точке равны нулю, т.е.

. Точки, в которых
и
, называются стационарными точками функции
.

Достаточные условия экстремума . Пусть является стационарной точкой функции и пусть
,
,
. Составим определитель
. Тогда:

если
, то в стационарной точке
нет экстремума;

если
, то в точке есть экстремум, причем максимум, если А < 0, минимум, если
;

если
, то требуется дополнительное исследование.

Пример 6 . Исследовать на экстремум функцию
.

Находим частные производные первого порядка:
;
Решая систему уравнений
получаем две стационарные точки:
и
. Находим частные производные второго порядка:
,
,
. Исследуем каждую стационарную точку.

4. Градиент функции двух переменных

.

Свойства градиента

Пример 7 . Дана функция
. Найти градиент функции в точке
и построить его.

Найдем координаты градиента – частные производные.

В точке
градиент равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .

5

5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Важной является задача нахождения экстремума , математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию
.

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
при ограничениях

Поскольку для линейной функции нескольких переменных нет критических точек внутри области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области . Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки . Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом .

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

точку А «входа» линии уровня в область. Эта точка определяет точку наименьшего значения функции;

точку В «выхода» линии уровня из области. Эта точка определяет точку наибольшего значения функции.

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
.

Пример 8 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области решений системы линейных неравенств

1. Построим область решений системы линейных неравенств . Для этого построим полуплоскости и найдем их пересечение. В качестве «контрольной точки» возьмем точку
, которая не принадлежит граничным прямым.

у

1

Прямая ()
- точки для построения
и
. Так как
верно, то полуплоскость обращена в сторону контрольной точки .

Прямую ()
строим по точкам
и
; неравенство
верное, полуплоскость направлена в сторону контрольной точки ..

Прямая ()
построена по точкам
и
; полуплоскость обращена в сторону контрольной точки ..

Неравенства
и
показывают, что искомая область (пересечение всех полуплоскостей) находится в первой координатной четверти.

2. Построим градиент функции - вектор с координатами
с началом в начале координат. Перпендикулярно градиенту построим одну из линий уровня .

3. Параллельным движением линии уровня в направлении градиента найдем точку «входа» линии уровня в область – это точка О(0,0). Вычислим значение функции в этой точке: .

4. Продолжая движение линии уровня в направлении градиента , найдем точку «выхода» линии уровня из области – это точка А. Для определения ее координат решим систему уравнений прямых и :
Решение системы уравнений
и
.

5. Вычислим значение функции в точке
: .

Ответ :
,
.

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие функции нескольких переменных.

2. Область определения и множество значений функции нескольких переменных.

3. Понятие линии уровня.

4. Частные производные функции нескольких переменных.

5. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.

6. Экстремум функции нескольких переменных.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области.

КОНТРОЛЬНЫе вопросы

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, способы задания, линии уровня функции двух переменных

Частные производные функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

Какая из приведенных функций, является функцией зависящей от двух переменных:

a)
; б)
; в)
; г)
.

2. Для функции
частная производная по переменной равна:

a)
; б)
; в)
; г)
., в точке равна… а) 1; б) 0; в) -1; г) 4.

12. Градиентом скалярного поля в точке является вектор …

а) б)

в) г)

13. Частная производная функции по переменной в точке равна…

а) е б) 2е в) 3е г) 3

14. Максимальное значение функции при ограничениях

Равно … (впишите ответ).

15. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции равно…

А) 10 б) 14 в) 13 г) 11

16. Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:

Тогда максимальное значение функции равно…

А) 29 б) 31 в) 27 г) 20

17. Максимальное значение целевой функции z=x 1 +2x 2 при ограничениях равно: а) 13 б) 12 в) 8 г) 6

18. Максимальное значение функции при ограничениях равно … (впишите ответ).

функций нескольких переменных 4.1. Задачи по теме "Дифференцирование функций нескольких переменных" Задача 1. Найти и изобразить на плоскости область существования функции ... 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y), определенной...