Решение таблицы симплекс методом онлайн. Симплекс-метод, примеры решения задач

Для разрешения выполнения апплета на вашем компьютере надо сделать следующее - нажать кнопку Пуск>Панельуправления>Программы>Java. В окне Java Control Panel выбираем вкладку Security (Безопастность) нажимаем кнопку Edit Site List, кнопку add и вставляем в свободное поле путь к этой страницы из адресной строки браузера. Далее нажимаем кнопки ОК, после этого перезагружаем компьютер.

Для запуска апплета нажмите на кнопку "Simplex". Если над этой строкой не видна кнопка "Simplex", то на компьютере не установлена Java.

После нажатия на кнопку « Simplex » выводится первое окно для ввода числа переменных и числа ограничений задачи на симплекс-метод.

После нажатия на кнопку « ok » выводится окно для ввода остальных данных задачи на симплекс-метод: режима отображения (десятичные дроби или обыкновенные), тип критерия задачи min или max , ввод коэффициентов целевой функции и коэффициентов системы ограничений со знаками « ≤ », « ≥ » или « = », ограничения вида х i ≥ 0 вводить не надо, их учитывает в своем алгоритме.

После нажатия на кнопку «Решить» выводится окно с результатами решения задачи на . Окно состоит из двух частей, в верхней части находится текстовое поле, содержащее описание приведения исходной задачи к канонической форме, которая используется для составления первой симплекс-таблицы. В нижней части окна в панели со вкладками расположены симплекс-таблицы каждой итерации с небольшим текстовым полем внизу с указанием разрешающего столбца, разрешающей строки и другой информации, что делает программу обучающей. Во вкладке с оптимальной (последней) таблицей в текстовом поле приведено полученное оптимальное решение задачи.

Замеченные ошибки и комментарии по работе апплета присылайте на [email protected] или звоните 8 962 700 77 06, за что мы будем Вам очень благодарны.

Программа М-метод

Программа для решения транспортной задачи

Здесь приведено ручное (не апплетом) решение двух задач симплекс-методом (аналогичным решению апплетом) с подробными объяснениями для того, чтобы понять алгоритм решения задач. Первая задача содержит знаки неравенства только " ≤ " (задача с начальным базисом), вторая может содержить знаки " ≥ ", " ≤ " или " = " (задача с искусственным базисом), они решаются по разному.

Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом

1)Симплекс-метод для задачи с начальным базисом (все знаки неравенств-ограничений " ≤ ").

Запишем задачу в канонической форме, т.е. ограничения-неравенства перепишем в виде равенств, добавляя балансовые переменные:

Эта система является системой с базисом (базис s 1 , s 2 , s 3 , каждая из них входит только в одно уравнение системы с коэффициентом 1), x 1 и x 2 - свободные переменные. Задачи, при решении которых применяется симплекс-метод, должны обладать следующими двумя свойствами:
-система ограничений должна быть системой уравнений с базисом;
-свободные члены всех уравнений в системе должны быть неотрицательны.

Полученная система - система с базисом и ее свободные члены неотрицательны, поэтому можно применить симплекс-метод. Составим первую симплекс-таблицу (Итерация 0), т.е. таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Здесь "БП" означает столбец базисных переменных, «Решение» - столбец правых частей уравнений системы. Решение не является оптимальным, т.к. в z – строке есть отрицательные коэффициенты.

итерация 0

Для улучшения решения перейдем к следующей итерации, получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , т.е. переменную, которая войдет в базис на следующей итерации. Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке (в задаче на максимум) – в начальной итерации это столбец x 2 (коэффициент -6).

Затем выбирается разрешающая строка , т.е. переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации. Она выбирается по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца (столбец «Отношение») – в начальной итерации это строка s 3 (коэффициент 20).

Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1. Следовательно, на следующей итерации переменная x 2 заменит в базисе s 3 . Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно.

Заполним следующую таблицу «Итерация 1». Её мы получим из таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный (с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов).

1)Вычисление строки х 2 таблицы "Итерация 1". Сначала делим все члены разрешающей строки s 3 таблицы "Итерация 0" на разрешающий элемент (он равен 1 в данном случае) этой таблицы, получим строку x 2 в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий элемент в данном случае равен 1, то строка s 3 таблицы "Итерация 0" будет совпадать со строкой х 2 таблицы "Итерация 1". Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:

2) Вычисление z-строки таблицы "Итерация 1". На месте -6 в первой строке (z-строке) в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой (z - строкой) таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 120. В столбце x 2 появился ноль 0 , цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.

3) Вычисление строки s 1 таблицы "Итерация 1". На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 44. В столбце х 2 получен необходимый 0.

4) Вычисление строки s 2 таблицы "Итерация 1". На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s 2 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 12. В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0.

Строки таблицы «Итерация 1» получаем по следующему правилу:

Новая строка = Старая строка – (Коэффициент разрешающего столбца старой строки)*(Новая разрешающая строка).

Например для z -строки имеем:

Старая z-строка (-4 -6 0 0 0 0)
-(-6)*Новая разрешающая строка -(0 -6 0 0 -6 -120)
=Новая z-строка (-4 0 0 0 6 120) .

Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.

итерация 1

Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы.

Итерация 2

Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис.

Итерация 3

В z-строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192.

Симплекс-метод, решение задачи с искусственным базисом

2) Решим задачу с искусственным базисом (хотя бы один знак неравенств-ограничений " ≥ " или " = ").

Запишем задачу в канонической форме (в виде системы уравнений, что требует симплекс-метод), для этого введем две переменные х 3 ≥ 0 и х 4 ≥ 0 получим:

Система ограничений предлагает только одну допустимую базисную переменную x 4 , только она входит только в одно уравнение в третье с коэффициентом 1, поэтому в первое и второе уравнения добавляем искусственные переменные R 1 ≥ 0 и R 2 ≥ 0 Чтобы можно было примененить симплекс-метод система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т.е. в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1, которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это R 1 , R 2 и x 4 . Получили, так называемую, М-задачу:

Данная система является системой с базисом, в которой R 1 , R 2 и x 4 базисные переменные, а x 1 , x 2 и x 3 свободные переменные, свободние члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:

итерация 0

В таблицу для задач с искусственным базисом добавлена строка «Оценка». Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными (R) с обратным знаком. Она будет присутствовать в таблице до тех пор, пока хотя бы одна из искусственных переменных есть в базисе. По наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту строки "Оценка" определяется разрешающий столбец пока она есть в таблице. Когда строка "Оценка" выйдет из таблицы (в базисе нет искусственных переменных) разрешающий столбец будет определяться по z-строке, как и в задаче с начальным базисом. В данной таблице разрешающий столбец х 2 , он выбран по наибольшей по модулю отрицательной оценке (-7). Разрешающая строка R 2 выбрана по наименьшему отношению столбца "Решение" к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца, как и в задаче без искусственных переменных. Это значит, что на следующей итерации переменная х 2 из свободной перейдет в базисную, а переменная R 2 из базисной – в свободную. Запишем следующую симплекс-таблицу:

Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка R 1 , R 1 выходит из базиса, x 1 входит в базис. После этого в базисе не остается искусственных переменных, поэтому строки «Оценка» в следующей таблице нет:

итерация 2

Далее разрешающий столбец выбирается по z-строке. В z-строке все коэффициенты неотрицательны кроме коэффициента при искусственной переменной R 1 , который не влияет на оптимальность, когда искусственные переменные вышли из базиса. Следовательно, получено оптимальное решение x 1 = 6/5; x 2 = 3/5; z max = 72/5.

Особые случаи применения симплекс-метода

1) Когда прямая (если рассматривается двухмерная задача линейного программирования, а в общем случае гиперплоскость), представляющая целевую функцию параллельна прямой (гиперплоскости), соответствующей одному из неравенств-ограничений (которое в точке оптимума выполняется, как точное равенство) целевая функция принимает одно и тоже оптимальное значение на некотором множестве точек границы области допустимых решений. Эти решения называются альтернативными оптимальными решениями . Наличие альтернативных решений можно определить по оптимальной симплекс-таблице. Если в z-строке оптимальной таблицы есть нулевые коэффициенты небазисных переменных, то есть альтернативные решения.

2) Если в разрешающем столбце симплекс-таблицы все коэффициенты меньше или равны нуль, то нельзя выбрать разрешающую строку, в этом случае решение неограничено.

3) Если ограничения задачи линейного программирования несовместны (т.е. они не могут выполняться одновременно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может возникнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип " ≤ " с неотрицательными правыми частями, т.к. в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений использются искусственные переменные. Если задача имеет решение, то в оптимальной таблице в базисе нет искусственных переменных (R i). Если они там есть, то задача не имеет решений.

Краткая теория

Для решения задач линейного программирования предложено немало различных методов. Однако наиболее эффективным и универсальным среди них оказался симплекс-метод. При этом следует отметить, что при решении некоторых задач могут оказаться более эффективными другие методы. Например, при ЗЛП с двумя переменными оптимальным является , а при решении - метод потенциалов. Симплекс-метод является основным и применимым к любой ЗПЛ в канонической форме.

В связи с основной теоремой линейного программирования естественно возникает мысль о следующем пути решения ЗЛП с любым числом переменных. Найти каким-нибудь способом все крайние точки многогранника планов (их не больше, чем ) и сравнить в них значения целевой функции. Такой путь решения даже с относительно небольшим числом переменных и ограничений практически неосуществим, так как процесс отыскания крайних точек сравним по трудности с решением исходной задачи, к тому же число крайних точек многогранника планов может оказаться весьма большим. В связи с этими трудностями возникла задача рационального перебора крайних точек.

Суть симплексного метода в следующем. Если известны какая-нибудь крайняя точка и значение в ней целевой функции, то все крайние точки, в которых целевая функция принимает худшее значение, заведомо не нужны. Отсюда естественно стремление найти способ перехода от данной крайней точки к смежной по ребру лучшей, от нее к еще лучшей (не худшей) и т. д. Для этого нужно иметь признак того, что лучших крайних точек, чем данная крайняя точка, вообще нет. В этом и состоит общая идея наиболее широко применяемого в настоящее время симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП. Итак, в алгебраических терминах симплексный метод предполагает:

1. умение находить начальный опорный план;
2. наличие признака оптимальности опорного плана;
3. умение переходить к нехудшему опорному плану.

Пример решения задачи

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве , , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно , , тыс. руб.

• Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
• К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплексным методом, составить двойственную задачу линейного программирования.
• Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач.
• Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи, в которой производится оценка ресурсов, затраченных на продажу товаров.

Если ваш допуск к сессии зависит от решения блока задач, а у вас нет ни времени, ни желания садиться за расчёты – используйте возможности сайта сайт. Заказ задач – дело нескольких минут. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить решение задач по линейному программированию...

Решение задачи

Построение модели

Через обозначим товарооборот 1-го, 2-го и третьего вида товаров соответственно.

Тогда целевая функция, выражающая получаемую прибыль:

Ограничения по материально-денежным ресурсам:

Кроме того, по смыслу задачи

Получаем следующую задачу линейного программирования:

Приведение к каноническому виду ЗЛП

Приведем задачу к каноническому виду. Для преобразования неравенств в равенства введем дополнительные переменные . Переменные входят в ограничения с коэффициентом 1. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если при неотрицательности правой части левая часть имеет переменную, входящую с коэффициентом, равным единице, а остальные ограничения-равенства - с коэффициентом, равным нулю. В нашем случае 1-е, 2-е, 3-е ограничения имеют предпочтительный вид с соответствующими базисными переменными .

Решение симплекс-методом

Заполняем симплексную таблицу 0-й итерации.

Так как мы решаем задачу на максимум – наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено и что от таблицы 0-й итерации необходимо перейти к следующей.

Переход к следующей итерации осуществляем следующим образом:

Ведущий столбец соответствует .

Ключевая строка определяется по минимуму соотношений свободных членов и членов ведущего столбца (симплексных отношений):

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е.7.

Теперь приступаем к составлению 1-й итерации. Вместо единичного вектора вводим вектор .

В новой таблице на месте разрешающего элемента пишем 1, все остальные элементы ключевого столбца –нули. Элементы ключевой строки делятся на разрешающий элемент. Все остальные элементы таблицы вычисляются по правилу прямоугольника.

Получаем таблицу 1-й итерации:

Ключевой столбец для 1-й итерации соответствует .

Находим ключевую строку, для этого определяем:

На пересечении ключевого столбца и ключевой строки находим разрешающий элемент, т.е. 31/7.

Вектор выводим из базиса и вводим вектор .

Получаем таблицу 2-й итерации:

В индексной строке все члены неотрицательные, поэтому получено следующее решение задачи линейного программирования (выписываем из столбца свободных членов):

Таким образом, необходимо продавать 7,1 тыс.р. товара 1-го вида и 45,2 тыс.р. товара 3-го вида. Товар 2-го вида продавать невыгодно. При этом прибыль будет максимальна и составит 237,4 тыс.р. При реализации оптимального плана остаток ресурса 3-го вида составит 701 ед.

Двойственная задача ЛП

Запишем модель двойственной задачи.

Для построения двойственной задачи необходимо пользоваться следующими правилами:

1) если прямая задача решается на максимум, то двойственная - на минимум, и наоборот;

2) в задаче на максимум ограничения-неравенства имеют смысл ≤, а в задаче минимизации - смысл ≥;

3) каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, и наоборот, каждому ограничению двойственной задачи соответствует переменная прямой задачи;

4) матрица системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы системы ограничений исходной задачи транспонированием;

5) свободные члены системы ограничений прямой задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи, и наоборот;

6) если на переменную прямой задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной задачи записывается как ограничение-неравенство, если же нет, то как ограничение-равенство;

7) если какое-либо ограничение прямой задачи записано как равенство, то на соответствующую переменную двойственной задачи условие неотрицательности не налагается.

Транспонируем матрицу исходной задачи:

Приведем задачу к каноническому виду. Введем дополнительные переменные. В целевую функцию все дополнительные переменные введем с коэффициентом, равным нулю. Дополнительные переменные прибавим к левым частям ограничений, не имеющих предпочтительного вида, и получим равенства.

Решение двойственной задачи ЛП

Соответствие между переменными исходной и двойственной задачи:

На основании симплексной таблицы получено следующее решение двойственной задачи линейного программирования (выписываем из нижней строки):

Таким образом, наиболее дефицитным является ресурс первого вида. Его оценка максимальна и равна . Ресурс третьего вида является избыточным -его двойственная оценка равна нулю . Каждая дополнительно проданная единица товара 2-й группы будет снижать оптимальную прибыль на
Рассмотрен графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП) с двумя переменными. На примере задачи приведено подробное описание построения чертежа и нахождения решения.

Решение транспортной задачи
Подробно рассмотрена транспортная задача, ее математическая модель и методы решения - нахождение опорного плана методом минимального элемента и поиск оптимального решения методом потенциалов.

Принятие решений в условиях неопределенности
Рассмотрено решение статистической матричной игры в условиях неопределенности с помощью критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. На примере задачи подробно показано построение платежной матрицы и матрицы рисков.

Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:

Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.

Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.

Таблица 1.

Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .

Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.

Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.

Симплексный метод − это метод упорядоченного перебора опорных планов (упорядоченность обеспечивается монотонным изменением значения целевой функции при переходе к очередному плану). При этом необходимо соблюдать принцип: каждый следующий шаг должен улучшить или, в крайнем случае, не ухудшить значение целевой функции.

Для решения ЗЛП симплекс-методом ее приводят к каноническому виду, т.е. из ограничений – неравенств надо сделать ограничения – равенства. Для этого в каждое ограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная со знаком «+», если знак неравенства «£», и со знаком «–», ели знак неравенства «³».

В целевой функции эти дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. запись целевой функции не изменится. Каждую переменную, на которую не наложено условие неотрицательности, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: .

Если ограничения задачи отображают наличие и расход ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в канонической форме, равно объему неиспользованного ресурса.

Для решения задачи симплекс-методом будем использовать укороченные симплексные таблицы системы линейных уравнений и метод модифицированного жорданова исключения .

1. Составляем первый опорный план

Задача остается прежней. Приведем стандартную форму системы неравенств (1) в каноническую форму системы уравнений путем введения дополнительных балансовых переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 .

или

В экономическом смысле значения дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 определяют остатки сырья после реализации продукции.

Матрица полученной системы уравнений имеет вид:

Видно, что в матрице A базисным минором 4-го порядка является определитель, составленный из единичных коэффициентов при дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , так как он отличен от нуля и равен 1. Это означает, что векторы-столбцы при этих переменных является линейно независимыми, т.е. образуют базис , а соответствующие им переменные x 3 , x 4 , x 5 , x 6 являются базисными (основными). Переменные x 1 , x 2 будут называться свободными (неосновными).

Если свободным переменным x 1 и x 2 задавать различные значения, то, решая систему относительно базисных переменных, получим бесконечное множество частных решений. Если свободным переменным задавать только нулевые значения, то из бесконечного множества частных решений выделяют базисные решения – опорные планы.

Чтобы выяснить, могут ли переменные быть базисными, необходимо вычислить определитель, состоящий из коэффициентов при этих переменных. Если данный определитель не равен нулю, то эти переменные могут быть базисными.

Количество базисных решений и соответствующее ему число групп базисных переменных может быть не более, чем , где n –общее число переменных, r – число базисных переменных, r ≤ m ≤ n .

Для нашей задачи r = 4; n = 6. Тогда , т.е. возможны 15 групп из 4-х базисных переменных (или 15 базисных решений).

Разрешим систему уравнений относительно базисных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6:

Полагая, что свободные переменные x 1 = 0, x 2 = 0, получим значения базисных переменных: x 3 = 312; x 4 = 15; x 5 = 24; x 6 = –10, т.е. базисное решение будет = (0; 0; 312; 15; 24; –10).

Данное базисное решение является недопустимым , т.к. x 6 = –10 ≤ 0, а по условию ограничений x 6 ≥ 0. Поэтому вместо переменной x 6 в качестве базисной надо взять другую переменную из числа свободных x 1 или x 2 .

Дальнейшее решение будем выполнять, используя укороченные симплексные таблицы, заполнив строки первой таблицы коэффициентами системы следующим образом (табл. 1):

Таблица 1

F –строка называется индексной . Она заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками, так как уравнение функции можно представить в виде F = 0 – (– 4x 1 – 3x 2).

В столбце свободных членов b i есть отрицательный элемент b 4 = –10, т.е. решение системы является недопустимым. Чтобы получить допустимое решение (опорный план), элемент b 4 надо сделать неотрицательным.

Выбираем x 6 -строку с отрицательным свободным членом. В этой строке есть отрицательные элементы. Выбираем любой из них, например, «–1» в x 1 -столбце, и x 1 -столбец принимаем в качестве разрешающего столбца (он определит, что переменная x 1 перейдет из свободных в базисные).

Делим свободные члены b i на соответствующие элементы a is разрешающего столбца, получаем оценочные отношения Θ i = = {24, 15, 12, 10}. Из них выбираем наименьшее положительное (minΘ i =10), которое будет соответствовать разрешающей строке . Разрешающая строка определяет переменную x j , которая на следующем шаге выступает из базиса и станет свободной. Поэтому x 6 -строка является разрешающей строкой, а элемент «–1» – разрешающим элементом . Обводим его кружком. Переменные x 1 и x 6 меняются местами.

Оценочные отношения Θ i в каждой строке определяются по правилам:

1) Θ i = , если b i и a is имеют разные знаки;

2) Θ i = ∞, если b i = 0 и a is < 0;

3) Θ i = ∞, если a is = 0;

4) Θ i = 0, если b i = 0 и a is > 0;

5) Θ i = , если b i и a is имеют одинаковые знаки.

Совершаем шаг модифицированного жорданова исключения (ШМЖИ) с разрешающим элементом и составляем новую таблицу (табл. 2) по следующему правилу:

1) на месте разрешающего элемента (РЭ) устанавливается величина, ему обратная, т.е. ;

2) элементы разрешающей строки делятся на РЭ;

3) элементы разрешающего столбца делятся на РЭ и знак меняется;

4) остальные элементы находятся по правилу прямоугольника:

Из табл. 2 видно, что свободные члены в b i -столбце являются неотрицательными, следовательно, получено первоначальное допустимое решение – первый опорный план = (10; 0; 182; 5; 4; 0). При этом значение функции F () = 40. Геометрически это соответствует вершине F (10; 0) многоугольника решений (рис. 1).

Таблица 2

2. Проверяем план на оптимальность. Опорный план не оптимальный, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–4». Улучшаем план.

3. Нахождение нового опорного плана

Выбираем разрешающий элемент по правилу:

Выбираем наименьший отрицательный коэффициент в F -строке «–4», который и определяет разрешающий столбец – x 6 ; переменную x 6 переводим в базисные;

Находим отношения Θ i , среди них выбираем наименьшее положительное, которое соответствует разрешающей строке:

min Θ i = min {14, 5, 2, ∞} = 2, следовательно, x 5 -строка – разрешающая, переменную x 5 переводим в свободные (переменные x 5 и x 6 меняются местами).

На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент «2»;

Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 3 по вышеприведенному правилу и получаем новый опорный план = (12; 0; 156; 3; 0; 2).

Таблица 3

4. Проверка нового опорного плана на оптимальность

Опорный план также не является оптимальным, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–1». Значение функции F () = 48, что геометрически соответствует вершине E (12; 0) многоугольника решений (рис. 1). Улучшаем план.

5. Нахождение нового опорного плана

x 2 -столбец – разрешающий, так как в F -строке наименьший отрицательный коэффициент «–1» находится в x 2 -столбце (Δ 2 = –1). Находим наименьшее Θ i : min Θ i = min {≈ 9, 6, ∞, 24} = 6, следовательно, x 4 -строка – разрешающая. Разрешающий элемент «1/2». Меняем местами переменные x 2 и x 4 . Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 4, получаем новый опорный план = (9; 6; 51; 0; 0; 5).

6. Проверка опорного плана на оптимальность

В F -строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, опорный план является оптимальным. Геометрически соответствует точке D (9;6) (см. рис. 1). Оптимальный план дает максимальное значение целевой функции у.е.

Понравилось? Добавьте в закладки

Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн

Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

Задача 2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

1. Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
2. Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
3. Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
4. Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
5. Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.

Задача 4. Решить задачу линейного программирования симплексным методом:

Задача 5. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом:

Задача 6. Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:

Задача 7. Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Задача 8. Найти оптимальное решение двойственным симплекс-методом