В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

Порядок применения формулы массива:

1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Условие задачи:

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

Рис. 1 Настройка региональных опций

Изменить настройки компьютера можно с помощью Панели Управления , через закладку Regional and Language Options с переходом на опцию Customize.

Имена встроенных в Excel функций зависят от того, какой вариант установлен – русский или английский. Например, в английской версии функция суммирования выглядит так

SUM(A1:A9) .

Эта же функция в русской версии имеет вид

СУММ(A1:A9).

Список соответствия русско-английских имен функций приведен в файле FUNCS.XLS , который находится на вашем компьютере, обычно в директории C:\Program Files\Microsoft Office\OfficeVer\1049\ , где OfficeVer – это имя версии, например Office 11. Подробнее о локализации Exсel можно прочитать . В файле Excel_Functions.xls приведены имена всех функций на 16 языках.

В этом пособии мы используем английскую версию Excel 2003, в которой разделитель дробной части – точка, а разделитель списков – запятая. Русские имена функций приводятся для справки.

Строки и столбцы можно удалять, добавлять, прятать, а также менять их размер: высоту или ширину.

Ячейка может иметь содержание: число, текст или формулу. Для наглядности ячейки можно форматировать: менять фонт, цвет, рамку, и т.д.

Все операции на листе выполняются с помощью меню, представленного в верхней части окна (). Меню в Excel 2007 существенно отличается от прежней версии. Там, вместо обычных иконок, появилась лента. Мы не будем подробно разбирать отличия версий. Те, кому это интересно могут прочитать .

1.3. Адресация

Например, первая ячейка имеет абсолютный адрес – $A$1 , относительный адрес – A1 , и два смешанных адреса – $A1 и A$1 . Различие в способе адресации проявляется, прежде всего, тогда, когда формула копируется и переносится в другое место. Поясним это на простом примере.

Рис. 5 Абсолютная и относительная адресация

1.4. Область

Матрица занимает на листе область. Пример показан на Рис. 6, где расположена матрица, которая имеет 9 строк (с 2 по 10) и 3 столбца (с B по D).

При работе с матрицами бывает удобно присвоить ее области имя. Для этого есть два способа. Самый простой – это выделить нужную область на листе, а затем кликнуть в окно Name Box (см. ), стереть там адрес и вписать имя – например Data (Рис. 6). Другой способ – это действовать через меню: Insert-Name-Define .

Имя области может быть глобальным – доступным для любых листов книги, или локальным – определенным только для одного листа. В последнем случае, имя следует определять в форме: ListName!RangeName

1.5. Простейшие вычисления

Для проведения вычислений в Excel используются формулы. Формула начинается со знака равенства (=) и может включать в себя: ссылки, операторы, функции и константы.

Операторы позволяют проводить простейшие арифметические вычисления, примеры которых показаны на Рис. 7

H

Рис.7 Простейшие вычисления

1.6. Функции

Функции – это стандартные формулы, проводящие вычисления по заданным величинам, называемым аргументами. Некоторые примеры функций показаны на Рис. 8.

Рис.8 Простейшие функции

Функция состоит из имени, за которым следует круглая скобка, затем идет список аргументов, разделенных запятой и, наконец, закрывающая скобка.

1.7. Некоторые важные функции

Excel предоставляет широкий выбор стандартных (встроенных) функций. Мы не можем рассмотреть их все, поэтому остановимся только на тех, которые представляются нам самыми важными.

SUM/ СУММ

Суммирует все числа в списке аргументов или в области.

Синтаксис :

SUM (number1 [,number2 ] [,... ])

Пример

Рис.12 Функция SUM

SUMSQ / СУММКВ

Возвращает сумму квадратов аргументов.

Синтаксис :

SUMSQ (number1 [,number2 ] [,... ])

Пример

Рис.13 Функция SUM SQ

SUMPRODUCT / СУММПРОИЗВ

Перемножает соответствующие элементы заданных массивов и возвращает сумму произведений

Синтаксис :

SUMPRODUCT (array1 , array2 , ...)

Пример

Рис.14 Функция SUMPRODUCT

AVERAGE / СРЗНАЧ

VAR / ДИСП

STDEV / СТАНДОТКЛОН

CORREL / КОРРЕЛ

Функции можно объединять в составные формулы, пример которой показан на Рис. 19.

Рис.19 Пример составной формулы

1.8. Ошибки в формулах

При вводе формул, а также при последующем изменении листов, возникают ошибки. При этом вместо ожидаемого результата в ячейке появляется один из символов, показанных на Рис. 20 .

Рис.20 Ошибки в формулах

Установить происхождение ошибки можно с помощью меню Formula Auditing, доступной через раздел Tools .

1 .9. "Растаскивание" формул

При работе с данными в виде матрицы, часто возникает необходимость ввести не одну, а целую серию формул. Например, при выполнении SNV преобразования спектральных данных нужно вычислить средние значения и среднеквадратичные отклонения по каждой строке. Очень утомительно было бы повторять одну и ту же формулу многократно, меняя в ней только аргумент, даже для сильно усеченного примера, показанного на . А в реальных данных число строк или столбцов может доходить до десятков тысяч. К счастью это и не нужно, поскольку можно воспользоваться техникой "растаскивания" формул.

Поясним эту технику на нашем примере. Начнем с ввода формулы-образца. В этом случае – это формула, помещенная в ячейку J3 .

Рис.21 Маркер заполнения

Формулы в соседние ячейки можно вставить при помощи маркера заполнения, которым называется небольшой черный квадрат в правом нижнем углу выделенной области ячеек. При наведении мышки на этот маркер, указатель принимает вид черного креста. После этого можно перетащить ячейку, содержащую формулу, в примыкающий диапазон. Тащить можно по вертикали, как показано на Рис. 22, и по горизонтали.

Рис.22 Растаскивание серии однотипных формул

Формулы можно размножать и другим способом. Сначала копируем ячейку, содержащую формулу-образец. Потом отмечаем диапазон ячеек, в которые нужно распространить формулу, и делаем специальную вставку, выбирая опцию Formulas .

Рис.23 Копирование серии однотипных формул

1 .10. Построение графиков

В Excel можно строить диаграммы разных типов. Но для нас интересны только два вида: диаграмма рассеяния (scatter) и график (line). Пример диаграммы рассеяния приведен на Рис. 24 .

Рис.24 Диаграмма рассеяния

Диаграммы такого типа используются для построения графиков счетов, зависимостей "измерено-предсказано", и т.п. От линейных графиков они отличаются равноправием обеих осей. В линейных графиках ось абсцисс предназначена только для отображения категорийных переменных, т.е. величин, в которых важна не их величина, а порядок следования. Поэтому линейные графики подходят для представления зависимостей от числа главных компонент, например, для изображения того, как величины RMSEC и RMSEP меняются при усложнении модели.

Методы построения графиков в версиях 2003 и 2007 сильно отличаются. Поэтому мы не будем на этом останавливаться, предоставив эту тему для самостоятельного изучения .

2. Матричные операции

2.1. Формулы массива

Многие операции с матрицами выполняются с помощью формул специального вида, называемыми формулами массива . От других формул они отличаются тем, что их результатом является не одна величина (число), а набор величин – массив. При вводе таких формул требуется специальное подтверждение – вместо клавиши ENTER надо нажимать комбинацию из трех клавиш CTRL+SHIFT+ENTER .

Поясним использование формул массивов на простом примере. Предположим, что нам нужно выполнить автошкалирование (стандартизацию) данных, записанных в матрице X . Для этого сначала нужно вычислить средние значения m j и среднеквадратичные отклонения s j для каждого (j -го) столбца X , а затем вычесть из каждого столбца величину m j и поделить на величину s j

Такое преобразование можно сделать с помощью обычных формул, как это показано на Рис. 25.

Рис.25 Обычная формула

Надо только не забыть указать знак $ перед номерами строк 9 (m ) и 11 (s ) , чтобы зафиксировать положение соответствующих величин в строках.

Если матрица X велика, то удобнее воспользоваться формулой массива. (Рис. 26). Назовем соответствующие области на листе: X , m и s . Отметим пустую область N3:R7 , размеры которой совпадают с ожидаемым результатом. После этого введем в Formula Bar выражение =(X-m)/s . Завершает ввод комбинация клавиш CTRL+SHIFT+ENTER . Если все сделано правильно, то в Formula Bar появится формула { =(X-m)/s} , заключенная в фигурные скобки {} . Это – признак формулы массива. .

2.2. Создание и изменение формул массива

Для того чтобы правильно ввести формулу массива, нужно выделить на листе область, размеры которой совпадают с ожидаемым результатом.

Если выделить слишком большую область, то при вычислении избыточные ячейки будут заполнены символами ошибки #N/A . Если область вывода будет меньше, чем нужно, то часть результатов пропадет. После выделения области, в Formula Bar записывается формула и нажимается CTRL+SHIFT+ENTER .

Альтернативно, сначала можно ввести формулу в одну ячейку, затем отметить область вывода, начиная с этой ячейки (право и вниз), потом перейти в Formula Bar и нажать CTRL+SHIFT+ENTER .

Для того, чтобы изменить формулу массива нужно выделить область содержащую результат. Затем нужно перейти Formula Bar . При этом фигурные скобки вокруг формулы { } исчезнут. После этого формулу можно изменить и нажать CTRL+SHIFT+ENTER .

Для того чтобы расширить область, которую занимает формула массива, достаточно выделить для нее новую область, перейти в Formula Bar и нажать CTRL+SHIFT+ENTER . А вот для того, чтобы уменьшить эту область (например, чтобы избавиться от символов #N/A ) придется потратить больше сил. Сначала нужно встать на любую ячейку области, перейти в Formula Bar и скопировать строку формулы. Затем нужно стереть содержимое старой области и отметить новую, меньшую область. После этого опять перейти в Formula Bar , вставить формулу и нажать CTRL+SHIFT+ENTER .

Изменять отдельные ячейки в формуле массива нельзя. При попытке сделать это появляется предупреждение.

Рис.27 Предупреждение о недопустимой операции с формулой массива

2.3. Простейшие операции с матрицами

С помощью формул массива матрицы можно складывать и умножать на числа.

Рис.28 Сложение матриц и умножение на число

Для перемножения двух матриц используется функция MMULT .

2.4. Доступ к частям матрицы

Для доступа и отделения частей матрицы применяются две стандартные функции листа.

OFFSET / СМЕЩ

Синтаксис

OFFSET (reference , rows , cols [, height] [, width])

r eference – это ссылка на область, начиная с которой вычисляется смещение;

r ows – число строк, на которое надо сместиться (положительное – вниз, отрицательное вверх от начала);

cols –То же, но для столбцов (положительное – вправо, отрицательное влево от начала);

height – необязательный аргумент. Положительное число строк возвращаемой ссылки;

width – необязательный аргумент. Положительное число столбцов возвращаемой ссылки.

Примечания

Если аргументы height или width опущены, то предполагается, что используется такая же высота или ширина, как в аргументе reference ;

Аргумент reference – это ссылка на область, которая должна быть реальным, а не виртуальным массивом, т.е. находиться где-то на листе.

Пример

Рис.29 Функция OFFSET

OFFSET

INDEX / ИНДЕКС

Возвращает значения элементов в массиве, выбранных с помощью индексов строк и столбцов.

Синтаксис

INDEX (reference [, row_num] [, column_num])

r eference – это массив значений (матрица);

r ow_num – необязательный аргумент. Номер строки, из которой берутся значения;

col_num –необязательный аргумент. Номер столбца, из которого берутся значения;

Примечания

Если аргумент row_num опущен, то выбирается весь столбец;

Если аргумент col_num опущен, то выбирается вся строка;

Если указаны оба необязательных аргумента, то возвращается значение, находящееся в ячейке на пересечении соответствующей строки и столбца;

Аргумент reference может быть ссылкой, как на область, так и на виртуальный массив.

Пример

Рис.30 Функция INDEX

INDEX является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием комбинации CTRL+SHIFT+ENTER .

2.5. Унарные операции

К матрицам можно применять следующие унарные формулы.

MINVERSE / МОБР

Возвращает обратную матрицу.

Синтаксис

MINVERSE (array )

array – это массив значений (матрица).

Примечания

Матрица array должна быть квадратной;

Если матрица вырождена, то выводится символ ошибки #VALUE!.

Пример

Рис.3 1 Функция MINVERSE

MINVERSE

TRANSPOSE / ТРАНСП

Возвращает транспонированную матрицу

Синтаксис

TRANSPOSE (array )

array

Пример

Рис.3 2 Функция TRANSPOSE

TRANSPOSE является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием комбинации CTRL+SHIFT+ENTER .

MDETERM / МОПРЕД

Возвращает детерминант матрицы.

Синтаксис

MDETERM (array )

array – это массив значений (матрица).

Примечания

Матрица array должна быть квадратной.

M DETERM не является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием одной клавиши ENTER .

2.6. Бинарные операции

К матрицам можно применять следующие бинарные операции.

MMULT / МУМНОЖ

Возвращает произведение двух матриц.

Синтаксис

MMULT (array1 , array2 )

array1 , array2 – перемножаемые матрицы.

Примечания

Число столбцов в матрице array1 должно быть равно числу строк в матрицу array2 , иначе выводится символ ошибки #VALUE!;

В получаемом массиве должно быть не более 5461 элементов (Excel 2003).

Пример

Рис.33 Функция MMULT

MMULT является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием комбинации CTRL+SHIFT+ENTER .

2.7 . Регрессия

y =b +m 1 x 1 +…+m J x J +e

Аппроксимирует известные значения вектора откликов known_y"s для заданных значений матрицы предикторов known_x"s и возвращает значения y , для заданного массива new_x"s .

Синтаксис

TREND (known_y"s [,known_x"s] [,new_x"s] [,const])

known_y"s y (калибровочный набор);

known_x"s – необязательный аргумент. Матрица известных значений предикторов X (калибровочный набор);

new_x"s – необязательный аргумент. Матрица новых значений предикторов X

const – необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы параметр b был равен нулю. Если const имеет значение TRUE или опущено, то b b =0.

Примечания

Вектор known_y"s должен занимать один столбец, тогда каждый столбец матрицы массива known_x"s интерпретируется как отдельная переменная;

Если аргумент known_x"s опущен, то предполагается, что это вектор чисел {1;2;3;...} такого же размера, как и known_ y "s ;

Матрица новых значений new _x"s должна иметь столько же столбцов (переменных), как и матрица known_x"s ;

Если аргумент new _x"s опущен, то предполагается, что он совпадает с массивом known_x"s . Результат является вектором, в котором число строк равно числу строк в массиве new _x"s .

Пример

Рис.34 Функция TREND

Функция TREND является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием комбинации CTRL+SHIFT+ENTER .

LINEST / ЛИНЕЙН

Дополняет функцию TREND и выводит некоторые статистические значения, связанные с регрессией

y =b +m 1 x 1 +…+m J x J +e

Синтаксис

LINEST (known_y"s [,known_x"s] [,new_x"s] [,const] [,stats] )

known_y"s – вектор известных значений откликов y (калибровочный набор);

known_x"s – необязательный аргумент. Матрица известных значений предикторов X (калибровочный набор);

new_x"s – необязательный аргумент. Матрица новых значений предикторов X new (проверочный набор) для которых вычисляются и выводятся значения откликов;

const – необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы параметр b был равен нулю. Если const имеет значение TRUE или опущено, то b вычисляется обычным образом, иначе b =0;

stats – необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, нужно ли выводить дополнительные статистические значения. Если stats имеет значение FALSE или опущено, то выводятся только оценки коэффициентов m J , …, m 2 , m 1 и b . Иначе выводится целая таблица

Рис. 35 Таблица вывода функция LINEST

m J , …, m 2 , m 1 и b – оценки регрессионных коэффициентов;

s J , …, s 2 , s 1 и s b – стандартные ошибки для оценок регрессионных коэффициентов;

R 2 – коэффициент детерминации;

s y – стандартная ошибка оценки y;

F – F-статистика;

DoF – число степеней свободы;

SS reg – регрессионная сумма квадратов;

SS res – остаточная сумма квадратов.

Примечания

Пример

Рис.36 Функция LINEST

Функция LINEST является функцией массива и ее ввод должен завершаться нажатием комбинации CTRL+SHIFT+ENTER .

2.8. Критическая ошибка в Excel 2003

В Excel 2003 функции TR E ND и LINEST при определенных условиях дают неверный результат.

Так происходит когда одновременно:

среднее значение по каждой переменной в матрице предикторов X равно нулю;

среднее значение отклика Y не равно нулю.

2.9. Виртуальный массив

При анализе данных часто возникает проблема сохранения промежуточных результатов, которые нужны не сами по себе, а только для того, чтобы вычислить по ним другие, полезные значения. Например, остатки в методе PCA часто нам не интересны, а нужны только для определения полной объясненной дисперсии, ортогональных расстояний и т.п. При этом размеры таких промежуточных массивов могут быть очень велики, да и к тому же их приходится вычислять при различных значениях числа главных компонент. Все это ведет к заполнению рабочей книги большим количеством ненужных, промежуточных результатов. Этого можно избежать, если использовать виртуальные массивы. Поясним их суть на простом примере.

Рис.38 Пример использования виртуального массива

Предположим, что задана матрица A , а нужно вычислить детерминант матрицы A t A . На Рис. 38 показаны два способа вычисления. Первый – через последовательность промежуточных массивов, отмеченных красными стрелками. Второй – с помощью одной формулы, показанной зеленой стрелкой. Оба пути ведут к одному и тому же результату, но красный путь занимает на листе много места, а зеленый последовательно использует несколько промежуточных виртуальных массивов. Все они, по сути, совпадают с реальными массивами красного пути, но на лист не выводятся.

Первый массив – это транспонированная матрица A t , получаемая как результат функции (A).

Второй виртуальный массив получается тогда, когда первый виртуальный массив умножается на матрицу A с помощью функции (TRANSPOSE(A), A) .

И, наконец, к этому, второму виртуальному массиву применяется функция .

3 . Расширение возможностей Excel

3 .1. Программирование. Язык VBA

Иногда стандартных возможностей Excel не хватает и приходится добавлять свои собственные подпрограммы. Для этой цели служит специальный язык программирования – Microsoft Visual Basic for Applications (VBA) . С его помощью можно создавать макросы – наборы команд, выполняющих определенную последовательность действий, и функции – программы для специальных вычислений на листе. Макросы – это способ автоматизации стандартных процедур. Однажды создав макрос, его можно использовать для повтора рутинных действий. Обратиться к макросу можно через меню Tools-Macro-Macros . Иногда удобно бывает приписать макрос к новой кнопке на панели инструментов или на листе.

Функции, созданные пользователем, вызываются также как и стандартные, встроенные функции – через Formula Bar .

Для того, чтобы макросы и пользовательские функции были доступны для применения, нужно установить соответствующий уровень безопасности через меню Tools-Macro-Security (Excel 2003)

Рис.39 Выбор уровня безопасности в Excel 2003

В Excel 2007 установка уровня безопасности происходит через Office Button- Excel Options- Trust Center.

Рис.40 Выбор уровня безопасности в Excel 2007

Если выбран уровень Medium (2003) или Disable all macros with notification (2007), то при каждом входе в Excel система будет запрашивать разрешение на использование макросов. Мы рекомендуем установить уровни так, как показано на Рис. 39 или Рис. 40 , но не пренебрегать надежным антивирусом для проверки посторонних файлов Excel.

При начальной установке Excel 2007 возможности работы с VBA сильно ограничены. Чтобы восстановить их нужно пройти по цепочке Office Button– Excel Options–Popular и включить опцию Show Developer Tab in the Ribbon .

3 .2. Пример

Рассмотрим вопрос о применении средств VBA на примере.

При моделировании неизотермической кинетики (ДСК, ТГА, и т.п.) необходима интегральная показательная функция (integral exponential) E 1 (x ). По определению,

Для вычисления E 1 (x ) можно использовать бесконечный ряд

На листе рабочей книги Excel каждый член этого ряда можно поместить в отдельную ячейку и затем просуммировать их. Этот способ показан на Рис. 41 .

Рис.41 Вычисление функции E 1 (x ) на листе

Нельзя признать такой способ вычисления удачным. Во-первых, вычисления занимают на листе много места. Но главное, не понятно, сколько членов в ряду нужно суммировать – иногда хватит и 10, а иногда и 50 будет мало.

3 .3 . Пример макроса

Второй способ опирается на рекуррентное соотношение, связывающее два соседних члена в ряду

Для того чтобы воспользоваться этим соотношением, надо организовать на листе рекуррентную процедуру. Например, так, как показано на Рис. 42

Рис.42 Вычисление функции E 1 (x ) итерационным способом

Один шаг итерации – это переход от значений в области J2:J4 к значениям в области L2:L4 . Для того, чтобы сделать следующую итерацию, нужно скопировать значения, получившиеся в области L2:L4 и вставить их в область J2:J4 . При этом вставлять нужно только величины, без формул. Величины в области H2:H4 дают исходные значения для начала итерации.Повторяя многократно операцию Copy-Paste Special , можно получить в ячейке L4 искомое значение. Однако копирование – это скучное занятие и его было бы неплохо автоматизировать. Для этого можно написать макрос.

Проще всего начать создание макроса через запись команд, выполняемых на листе. Для этого идем в раздел меню Tools–Macro–Record New Macro . Появляется окно (Рис. 43 ), в котором можно указать имя макроса и где он будет расположен.

Рис.43 Запись макро

После нажатия OK начинается запись всех действий, выполняемых на листе. Когда все, что нужно сохранено в макросе, запись надо остановить командой Tools–Macro–Stop Recording . Результат можно увидеть, зайдя в редактор Visual Basic .

Рис.44 Редактор Visual Basic

На Рис.

Рис.45 Функция IntExp

На Рис. 45 приведен код этой функции и пример обращения к ней.

Мы не будем рассказывать о программировании на VBA, т.к. это очень большой и сложный вопрос. Самостоятельно его можно изучить по имеющимся в сети многочисленным пособиям, например, .

VBA – это довольно медленный язык и он плохо подходит для больших вычислений. Например, не стоит писать на этом языке процедуру для PCA декомпозиции – на больших массивах она будет считать очень долго. Правильнее рассматривать Excel и VBA как интерфейс (front end) для ввода и вывода данных, которые затем передаются в динамическую библиотеку (DLL), написанную на быстром языке, таком как C++ (back end). Именно эта концепция и была реализована в надстройках Fitter и Chemometrics .

Подробнее об использовании пользовательских функций для расширения возможностей надстройки Chemometrics можно прочитать .

3 .5 . Надстройки

Написанные пользователем программы хранятся в той книге Excel, в которой они были созданы, в ее специальных разделах, называемых модулями . Для того чтобы эти макросы были доступны в других книгах, их можно туда скопировать, но можно поступить и по-другому – создать надстройку.

Надстройка – это специальный файл Excel, содержащий в себе несколько VBA модулей, связанных со всеми необходимыми библиотеками DLL. Надстройку можно подключить к системе Excel для расширения ее возможностей.

Стандартная версия Excel включает несколько надстроек, среди которых для нас примечательны две: Solver Add-In и Analysis Toolpak.

3 .6. Установка надстроек

Прежде чем начать использовать надстройку, нужно выполнить процедуру ее установки , которая состоит из двух частей.

В первой фазе файлы, входящие в пакет надстройки размещают на компьютере. В некоторых пакетах имеется программа Setup.exe, которая выполняет это автоматически. В других файлы нужно размещать самостоятельно. Объясним, как это нужно сделать. В состав пакета обязательно входит файл с расширением XLA и несколько вспомогательных файлов с расширениями DLL, HLP и др. Все вспомогательные файлы должны размещаться в следующих директориях: C:\Windows , или C:\Windows\System или C:\Windows\System32 . Основной файл (с расширением XLA) может, в принципе, находится в любом месте, но две директории являются предпочтительными.

Microsoft рекомендует размещать файлы XLA в директории C:\Documents and Settings\User\Application Data\Microsoft\AddIns , где User – это имя, под которым происходит вход в систему. Тогда этот файл можно быстро загрузить на второй фазе установки. Однако, если рабочие книги используются на нескольких компьютерах, с разными именами User , то, при смене компьютера, связи с основным файлом надстройки теряются и их приходится обновлять .

Поэтому мы предлагаем поместить файл Chemometrics.xla в директорию, которая имеет одно и то же имя на разных компьютерах, например C:\Program Files\Chemometrics . Автоматическая установка надстройки Chemometrics Add-In описана .

Вторая фаза проводится из открытой книги Excel. В версии 2003 нужно выполнить последовательность команд Tools-Add-Ins , а в версии 2007 последовательность: Office Button-Excel Options-Add-Ins-Go . В появившемся окне (см Рис. 45 ) нужно нажать Browse и найти в компьютере нужный файл XLA.

Рис.45 Установка надстройки

После того, как надстройка установлена, ее можно активировать и деактивировать устанавливая отметку напротив имени. Для удаления надстройки нужно снять галочку против ее имени в окне Add-Ins , закрыть Excel и удалить все ранее установленные файлы с компьютера.

Заключение

Мы рассмотрели основные приемы работы с матрицами в системе Excel. За рамками пособия осталось еще много всего важного. Частично заполнить эти пробелы поможет пособие

РХТУ им. Д.B. Менделеева Кафедра ИКМ Методическое пособие по изучению Excel

Операции с матрицами в Excel

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование .

Транспонированной называется матрица (A T), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами.

Пример . Пусть в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2x5. Необходимо получить транспонированную матрицу.

Выделить указателем мыши при нажатой левой кнопке блок ячеек, где будет находиться транспонированная матрица. В нашем примере блок размера 5 x2 в диапазоне А4:В8.

Стандартная  вставка функции.

Мастер функций в рабочем полеКатегория выбратьСсылки и массивы , а в рабочем полеФункция – имя функции ТРАСП (рис.1)

рис.1

Появившееся диалоговое окно ТРАСП мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER(рис.2)

Если транспонированная матрица не появилась в заданном диапазоне А4:В8, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица.

Рис.2

Вычисление определителя матрицы

Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица. Необходимо вычислить определитель матрицы

Табличный курсор поставить в ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например. В А4.

Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МОПРЕД. После этого нажать на кнопку ОК.

Появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажать кнопку ОК.

В ячейке А4 появится значение определителя матрицы.

Нахождение обратной матрицы

Пусть в диапазон А1:С3 введена матрица. Необходимо в диапазоне А5:С7 получить обратную матрицу.

Выделить блок ячеек под обратную матрицу (в нашем примере А5:С7)

Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МОБР. После этого нажать на кнопку ОК.

Появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон исходной матрицы А1:С3 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER

Если обратная матрица не появилась в заданном диапазоне А1:С3, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А1:С3 появится обратная матрица.

Сложение и вычитание матриц, умножение и деление матрицы на число

Пример. Пусть матрица А введена в диапазон А1:С2, а матрица В – в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой, в диапазоне Е1:G2.

Табличный курсор установить в левый верхний угол результирующей матрицы – ячейку Е1.

Ввести формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =А1+А4 (предварительно установить английскую раскладку клавиатуры)

Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная сумме исходных матриц.

Подобным образом вычисляется разность матриц, только в формуле вместо знака +, ставится знак -.

Если необходимо умножить (разделить) матрицу А на число k, то формула будет иметь вид =А1*k.

Рис.3

Умножение матриц

Произведение двух матриц определено, если число столбцов первой матрицы произведения равно числу строк второй матрицы произведения.

Пример . Пусть матрица введена в диапазонA1:D3, а матрица В – в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С=Аx В.

Выделить блок ячеек указателем мыши при нажатой левой кнопке под результирующую матрицу. Если матрица А имеет размерность 3 x 4, а матрица В имеет размерность 4 x 3, то результирующая матрица С имеет размерность 3 x 3. Поэтому следует внимательно следить, чтобы размерность матрицы С в точности соответствовала определению произведения двух матриц. Пусть матрица С будет размещаться в диапазонеF1:G3.

Нажать на панели инструментов Стандартная кнопкуВставка функции

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем полеКатегории выбратьМатематические, а в рабочем полеФункция – имя функции МУМНОЖ. После этого нажать на кнопку ОК.

Появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвинуть в сторону от исходной матрицы и ввести диапазон первой матрицы А1:D3 в рабочее полеМассив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В – А4:В7 ввести в рабочее полеМассив2 . После чего, не нажимая кнопку ОК, нажать сочетание клавишCTRL+SHIFT+ENTER(рис.3)

Рис.4

Если произведение матриц не появилось в заданном диапазоне А1:С3, то надо щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне F1:G3 появится обратная матрица.

Одной из частых операций, которую выполняют при работе с матрицами, является перемножение одной из них на другую. Программа Excel является мощным табличным процессором, который предназначен, в том числе и для работы над матрицами. Поэтому у него имеются инструменты, которые позволяют перемножить их между собой. Давайте узнаем, как это можно выполнить различными способами.

Сразу нужно сказать, что перемножить между собой можно далеко не все матрицы, а только те, которые соответствуют определенному условию: число столбцов одной матрицы должно быть равным числу строк другой и наоборот. Кроме того, исключается наличие в составе матриц пустых элементов. В этом случае тоже выполнить требуемую операцию не получится.

Способов перемножить матрицы в Экселе все-таки не так уж и много — всего два. И оба они связаны с применением встроенных функций Excel. Разберем в деталях каждый из данных вариантов.

Способ 1: функция МУМНОЖ

Наиболее простым и популярным вариантом среди пользователей является применение функции МУМНОЖ . Оператор МУМНОЖ относится к математической группе функций. Как раз его непосредственной задачей и является нахождение произведения двух матричных массивов. Синтаксис МУМНОЖ имеет такой вид:

МУМНОЖ(массив1;массив2)

Таким образом этот оператор имеет два аргумента, которые представляют собой ссылки на диапазоны двух перемножаемых матриц.

Теперь давайте посмотрим, как используется функция МУМНОЖ на конкретном примере. Имеется две матрицы, число строк одной из которых, соответствует количеству столбцов в другой и наоборот. Нам нужно перемножить два этих элемента.

Способ 2: использование составной формулы

Кроме того, существует ещё один способ умножения двух матриц. Он более сложный, чем предыдущий, но тоже заслуживает упоминания, как альтернативный вариант. Данный способ предполагает использование составной формулы массива, которая будет состоять из функции СУММПРОИЗВ и вложенного в неё в качестве аргумента оператора ТРАНСП .

1. На этот раз выделяем на листе только левый верхний элемент массива пустых ячеек, который рассчитываем использовать для вывода результата. Щелкаем по значку «Вставить функцию» .



2. Мастер функций запускается. Перемещаемся в блок операторов «Математические» , но на этот раз выбираем наименование СУММПРОИЗВ . Клацаем по кнопке «OK» .



3. Происходит открытие окна аргументов вышеуказанной функции. Данный оператор предназначен для перемножения различных массивов между собой. Его синтаксис следующий:

   СУММПРОИЗВ(массив1;массив2;…)

   В качестве аргументов из группы «Массив» используется ссылка на конкретный диапазон, который нужно перемножить. Всего может быть использовано от двух до 255 таких аргументов. Но в нашем случае, так как мы имеем дело с двумя матрицами, нам понадобится как раз два аргумента.

   Ставим курсор в поле «Массив1» . Тут нам нужно будет ввести адрес первой строки первой матрицы. Для этого, зажав левую кнопку мыши, нужно просто выделить её на листе курсором. Тут же координаты данного диапазона будут отображены в соответствующем поле окна аргументов. После этого следует зафиксировать координаты полученной ссылки по столбцам, то есть, эти координаты нужно сделать абсолютными. Для этого перед буквами в выражении, которое вписано в поле, устанавливаем знак доллара ($ ). Перед координатами, отображенными в цифрах (строки), это делать не следует. Также, можно вместо этого выделить всё выражение в поле и трижды нажать на функциональную клавишу F4 . В данном случае абсолютными тоже станут лишь координаты столбцов.



4. После этого устанавливаем курсор в поле «Массив2» . С этим аргументом будет посложнее, так как по правилам умножения матриц, вторую матрицу нужно «перевернуть». Для этого используем вложенную функцию ТРАНСП .

   Чтобы перейти к ней, клацаем по значку в виде треугольника, направленного острым углом вниз, который размещен слева от строки формул. Открывается список недавно используемых формул. Если вы в нем найдете наименование «ТРАНСП» , то щелкайте по нему. Если же вы давно использовали данный оператор или вообще никогда не применяли его, то в этом списке указанное наименование вы не отыщите. В этом случае требуется нажать по пункту «Другие функции…» .



5. Открывается уже хорошо знакомое нам окно Мастера функций . На этот раз перемещаемся в категорию «Ссылки и массивы» и выбираем наименование «ТРАНСП» . Щелкаем по кнопке «OK» .



6. Производится запуск окна аргументов функции ТРАНСП . Данный оператор предназначен для транспонирования таблиц. То есть, попросту говоря, он меняет местами столбцы и строки. Это нам и нужно сделать для второго аргумента оператора СУММПРОИЗВ . Синтаксис функции ТРАНСП предельно простой:

   ТРАНСП(массив)

   То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на тот массив, который следует «перевернуть». Вернее, в нашем случае даже не на весь массив, а только на его первый столбец.

   Итак, устанавливаем курсор в поле «Массив» и выделяем первый столбец второй матрицы на листе с зажатой левой кнопкой мыши. Адрес отобразится в поле. Как и в предыдущем случае, тут тоже нужно сделать определенные координаты абсолютными, но на этот раз не координаты столбцов, а адреса строк. Поэтому ставим знак доллара перед цифрами в ссылке, которая отображается в поле. Можно также выделить всё выражение и дважды кликнуть по клавише F4 . После того, как нужные элементы стали иметь абсолютные свойства, не жмем на кнопку «OK» , а так же, как и в предыдущем способе, применяем нажатие комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter .



7. Но на этот раз у нас заполнился не массив, а только одна ячейка, которую мы ранее выделили при вызове Мастера функций .



8. Нам нужно заполнить данными такой же по размеру массив, как и в первом способе. Для этого следует скопировать формулу, полученную в ячейке, на равнозначный диапазон, который будет равен количеству строк первой матрицы и количеству столбцов второй. В конкретно нашем случае получается три строки и три столбца.

   Для копирования прибегнем к использованию маркера заполнения. Наводим курсор на нижний правый угол ячейки, в которой расположена формула. Курсор преобразуется в черный крестик. Это и есть маркер заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем курсор по всему вышеуказанному диапазону. Сама начальная ячейка с формулой должна стать левым верхним элементом данного массива.



9. Как видим, выделенный диапазон заполнен данными. Если их сравнить с тем результатом, который мы получили благодаря применению оператора МУМНОЖ , то увидим, что значения полностью идентичны. Это означает, что умножение двух матриц выполнено верно.

Как видим, несмотря на то, что был получен равнозначный результат, использовать функцию для умножения матриц МУМНОЖ значительно проще, чем применять для этих же целей составную формулу из операторов СУММПРОИЗВ и ТРАНСП . Но все-таки данный альтернативный вариант тоже нельзя оставить без внимания при изучении всех возможностей перемножения матриц в Microsoft Excel.

Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике "Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966". Скачать - 11Мб

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A - квадратная матрица, X,B - вектора;
причем B - известный вектор (т е столбец чисел), X - неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 - обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) - функцией МУМНОЖ().

Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно:

1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР(3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel. Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Краткое описание.

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) (3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения таких систем уравнений. Конечно, это не дело. В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид:


А вектор В2: